sexta-feira, 28 de Agosto de 2009

NOÇÕES DE LIMITE

Nova imagem

FACULDADE FORTIUM – Unidade Gama

Licenciatura Em Ciências Biológicas

Matemática p/ Ciências Naturais

BION1A

Professor: Ivanisio Costa Filho

 

NOÇÕES DE LIMITE

Propriedades dos Limites:

Suponhamos que duas funções f e g tenham limites em um ponto a. Então teremos que:

a) a função f + g tem limite em a e ;

b) a função f . g tem limite em a e ;

c) se , então a função tem limite em a e .

Para a demonstração deste Teorema precisamos formalizar uma outra propriedade que enunciamos na forma de um lema. Assim,

Lema: Se existe , então existem e M>0 tais que:

se então .

Isso significa que, se f tem limite no ponto a, então f é limitada numa vizinhança de a, ou seja, f é localmente limitada.

Esta demonstração também fornece uma idéia de como se trabalha formalmente com esse tipo de situação.

Exemplo:

1º)

Observemos que a função cujo limite queremos calcular é uma soma de três parcelas. Onde cada uma tem limite, ou seja:

                                                 

Usando o Teorema sobre as propriedades dos limites, temos que o limite da soma é a soma dos limites e portanto:

16-20+3=-1, comprovando o resultado acima.

2º)

Observemos que a função cujo limite queremos calcular é o quociente entre dois termos. Onde cada um deles tem limite, ou seja:

Usando o Teorema sobre as propriedades dos limites, temos que, uma vez que existem os limites do numerador e do denominador, sendo o segundo diferente de zero, existe o limite do quociente, sendo este igual ao quociente dos limites. O que comprova o resultado acima.

3º)

Observemos que a função cujo limite queremos calcular é constituída de duas parcelas. A segunda delas tem limite:

A primeira parcela é um quociente, sendo que o numerador tem limite:

e o denominador também tem limite: que é diferente de zero.

Assim sendo, podemos aplicar o Teorema sobre as propriedades dos limites e comprovar o resultado acima.

4º) O não existe. Para verificar esse fato basta observar o gráfico da função .


 


De fato, quando x tende a zero por valores maiores do que zero, seu inverso tende a . E quando x tende a zero por valores menores do que zero, seu inverso tende a .

Assim sendo e .

5º)

Para calcular este limite, observamos, em primeiro lugar que o Teorema sobre as propriedades dos limites não pode ser utilizado, pois, embora o numerador e o denominador tenham limite, o limite do denominador é zero, contrariando uma das hipóteses do Teorema.

Entretanto, o numerador e o denominador tendem a zero e isso nos garante que 2 é raiz de ambos os termos da fração: (x-2) e . Esse fato nos indica o artifício a ser utilizado, pois, através dele obteremos o fator (x-2) em ambos os termos da fração.

Com efeito, multiplicando o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador - que é onde temos uma diferença de radicais - nos livramos dessa diferença obtendo um fator que permite a simplificação da fração. Vejamos:

Dada a expressão: a-b, a expressão conjugada é a+b e, reciprocamente, dada a+b, a conjugada é a-b.

Sempre é verdade que a2-b2=(a-b).(a+b)

É preciso notar que a simplificação por (x-2) foi possível, pois (x-2) não é igual a zero.

Com efeito, no cálculo de um limite, quando a variável x tende a 2, ela assume valores tão próximos de 2 quanto quisermos, mas nunca é exatamente 2.

Assim

Sendo que, na última igualdade utilizamos o Teorema sobre as propriedades dos limites, pois agora os limites de ambos os termos da fração existem e o do denominador não é zero.

6º)

Este é um limite semelhante ao do Exemplo 5.

Novamente observamos que o Teorema sobre as propriedades dos limites não pode ser utilizado, pois, embora o numerador e o denominador tenham limite, o limite do denominador é zero, contrariando uma das hipóteses.

Entretanto, o numerador e o denominador tendem a zero e isso nos garante que 0 é raiz de ambos os termos da fração: x2 e . Este fato nos indica o artifício a ser utilizado, pois, através dele obteremos o fator x2 em ambos os termos da fração.

Multiplicando o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador - que é onde temos uma diferença de radicais - nos livramos desta diferença obtendo um fator que permite a simplificação da fração. Vejamos:

Dada a expressão a-b, a expressão conjugada é a+b e, reciprocamente, dada a+b, a conjugada é a-b.

Sempre é verdade que: a2-b2=(a-b).(a+b)

É preciso notar que a simplificação por x2 foi possível, pois x2 não é igual a zero.

Com efeito, no cálculo de um limite, quando a variável x tende a 0, ela assume valores tão próximos de 0 quanto quisermos, mas nunca é exatamente 0.

Logo, utilizando o Teorema, temos: 

7º) O limite fundamental:

É preciso notar que o limite do numerador é 0, bem como o limite do denominador. Nesse caso o Teorema sobre as propriedades dos limites não pode ser aplicado.

Consideremos, inicialmente, que x se aproxima de 0 por valores maiores do que 0, isto é, x>0.

Temos então, a partir da figura:


 


pois , uma vez que o número real x indica a medida do arco AP em radianos.

Dividindo por sen x>0, pois x>0 e x "próximo" de 0, temos:

   Ou seja,

Tomando os inversos, as desigualdades mudam de sentido, ou seja,

Quando x tende a 0 por valores maiores do que 0, isto é, x® 0+, pelo Teorema do Confronto, temos:

   Pois e


Consideremos agora x se aproximando de 0 por valores menores do que 0, isto é, x<0.

Temos então, a partir da figura:


Como , uma vez que o número real x indica a medida do arco AP em radianos, considerando as desigualdades sem módulos, temos:

e dividindo por sen x<0, pois x<0 e x "próximo" de 0, temos:

É conveniente observar que as desigualdades envolvem números que são positivos, pois cada termo é o quociente de dois negativos.

Temos então,

Tomando os inversos, as desigualdades mudam de sentido, ou seja,

Quando x tende a 0 por valores menores do que 0, isto é, x®0-, pelo Teorema do Confronto, temos:

pois e .

Como os dois limites laterais tiveram como resultado o mesmo valor 1, temos, finalmente,

8º)

Para calcular este limite usamos o fato que e que sen é uma função limitada, isto é, .

Logo, usando a Conseqüência do Teorema do Confronto, temos: 

9º)

Como a função raiz quadrada é uma função contínua, para calcular o limite usamos a propriedade sobre o limite de uma função contínua e obtemos imediatamente:

10º)

É preciso notar que o limite do numerador é 0, bem como o limite do denominador. Nesse caso o Teorema sobre as propriedades dos limites não pode ser aplicado.

A fim de calcular esse limite, fazemos uma substituição de variável: .

Daí, como ln é a função inversa da exponencial de base e, x=ln(u+1) e, quando x tende a 0, u tende a 0.

Substituindo, temos então:

Como ln é uma função contínua, para calcular o último limite usamos a propriedade sobre o limite de uma função contínua e obtemos:

Pois Logo,

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1º) Mostre que se f é contínua na origem e , então f(0)=0.

R.: Como por hipótese f é contínua na origem, então .

Observemos que, como x tende a zero, x é diferente de zero e, portanto, podemos escrever .

Como, por hipótese, e , pela propriedade do limite do produto, temos

Logo, .

2º) Mostre que se f é contínua na origem e , então f(0)=0 e f'(0)=0.

R.: Para mostrar que f(0)=0, repetimos o raciocínio feito no Exercício 1.

Para provar que a derivada de f na origem é zero, ou seja, f'(0) =0 é preciso mostrar que o seguinte limite é zero:

Como, por hipótese, , isto é, , e , pela propriedade do limite do produto, temos:

.

Logo, f'(0)=0.

3º) Seja f uma função tal que para x<1. O que você pode dizer sobre os limites abaixo?

a)

R.: Como, por hipótese, para x<1, e como , então pelo teorema do confronto, temos .

b)

R.: Como, por hipótese, para x<1, , dividindo cada termo das desigualdades por x, temos:

Agora, como , pelo teorema do confronto temos .

 

c)

R.: Neste caso, dividindo por x2 cada termo das desigualdades , temos:

É preciso observar que como o problema é o de investigar , x se aproxima de zero, mas , o que torna possível a divisão.

Neste caso, não podemos aplicar o teorema do confronto e, portanto, não temos condição alguma de afirmar qualquer coisa a respeito de . Ele pode existir não existir ou até mesmo ser infinito ou finito.

 

 

Exercícios de Fixação

- Calcule os limites abaixo:

a)

R.: Para calcular , observamos que, como numerador e denominador têm limite, sendo o segundo deles diferente de 0, pela propriedade sobre o limite do quociente, temos:

b)

R.: Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.

Como e , ambos, numerador e denominador,
têm x=-1 como raiz.

Fatorando os dois polinômios, temos:

e  pois e são as raízes do polinômio .

Logo, .

 

c)

R.: Para calcular , observamos que, como numerador e denominador têm limite, sendo o segundo deles diferente de 0, pela propriedade sobre o limite do quociente, temos:

 

d)

R.: Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.

Como e , ambos, numerador e denominador, têm x=1 como raiz.

Fatorando os dois polinômios, temos:

e

Logo,

 

 

e)

R.: Para calcular , observamos que numerador e denominador têm

Limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.

Como e , ambos, numerador e denominador, têm x=a como raiz. Fatorando os dois polinômios, temos:

Logo,

 

 

 

 

f)

R.: Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.

Temos:

É conveniente observar que é o limite que define a derivada de
f(x)=x3.

 

 

g)

R.: Para calcular , observamos que cada uma das parcelas não tem

Limite no ponto 1 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite da soma.

Entretanto, temos que:

Logo,

 

 

 

 

h)

R.: Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.

Em primeiro lugar, é importante observar que

Daí,

Podíamos também ter calculado esse limite, multiplicando o numerador e o denominador da fração pela expressão conjugada do numerador, obtendo:

Dada a expressão a-b, a expressão conjugada é a+b, reciprocamente, dada a+b, a conjugada é a-b.

Sempre é verdade que a2-b2=(a-b).(a+b)

i)

R.: Para calcular , observamos que numerador e denominador têm limite, sendo ambos iguais a 0 e, portanto, não podemos aplicar a propriedade sobre o limite do quociente.

Entretanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por convenientes expressões que possibilitam simplificações interessantes. Assim sendo:

Não podemos esquecer que (a-b).(a+b)=a2-b2 e que (a-b).(a2+ab+b2)=a3-b3

Logo,

2

 


3 comentários: